Blog และ ข่าวสาร

ทฤษฎีจำนวน (Number theory)

ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

                                  นิยาม ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนต็ม c เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc

                          เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m   สัญลักษณ์ n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว   n|/m หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว

                                       1.  การหารลงตัว
                                                a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b ลงตัว”
                                                b/a = c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม

                                           สมบัติ
                                               1) ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
                                               2) ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b
                                               3) ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว a(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
                                       2.  การหารเหลือเศษ
                                               a/b = c เศษ d → a = bxc+d  โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < b   เช่น
                                                        0/3 = 0 เศษ 0  → 0 = 3 x (0) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
                                                        2/3 = 0 เศษ 2  → 2 = 3 x (0) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
                                                        3/3 =1 เศษ 0  → 3 = 3 x (1) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
                                                        4/3 =1 เศษ 1  → 4 = 3 x (1) + 1 (เหลือเศษเท่ากับ 1)
                                                       11/3 = 3 เศษ 2  → 11 = 3 x (3) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
                                        **Tips
                                                 ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d  แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับ เศษเหลือของ dm/b
                                       3.  จำนวนเฉพาะ และ จำนวนประกอบ
                                                  จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีแต่ 1, −1, ตัวมันเอง, จำนวนตรงข้ามของตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว

                                            (โดยที่ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
                                                  จำนวนประกอบคือ จำนวนเต็มบวก ที่ไม่ใช่ 1 และ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะโดยสามารถเขียนจำนวนประกอบ

                                            ให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้ เช่น

                                                4 = 2 × 2
                                                6 = 2 × 3
                                               21 = 3 × 7
                                               24 = 2 × 2 × 2 × 3
                                        4.  ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
                                                   ห.ร.ม. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ (a,b)คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากที่สุดที่หาร a และ b ลงตัว
                                             การหาค่า ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 300 และ 180
                                                    300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
                                                    180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
                                             ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หรือ (300,180) คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60
                                             สมบัติ
                                                 1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
                                                 2) *** ถ้า n|a และ n|b จะได้ว่า n|(a,b)***
                                        5.  ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
                                                   ค.ร.น. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ [a,b]คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว
                                             การหาค่า ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 300 และ 180
                                                    300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
                                                    180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
                                             ค.ร.น. ของ 300 และ 180 หรือ [300,180] คือ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 = 900
                                             สมบัติ
                                                 1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
                                                 2) *** ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n***

                                        6.  จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์    คือ  จำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มีห.ร.ม. เท่ากับ 1(ดังนั้น จำนวนเต็ม 2 จำนวนนั้น จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน)
                                             เช่น 21 กับ 25
                                                         21= 3×7
                                                         25 = 5×5
                                             สรุป 21 กับ 25 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
                                            ดังนั้น 21 กับ 25 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
                                                   26 กับ 35
                                                         26 = 2×13
                                                         35 = 5×7
                                             สรุป 26 กับ 35 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
                                            ดังนั้น 26 กับ 35 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
                                       7.  สมบัติร่วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
                                                 (a,b) x [a,b] = a x b   เช่น  (300,180) คือ 60  ,  [300,180] คือ 900
                                            จาก  (300,180) x [300,180] = 300 x 180
                                            จะได้ 60 × 900 = 300 × 180